On a une réécriture

On a une réécriture

On a des réécritures avec des \(\cup\) et des \(\cap\), ce qui montre que c'est \(\in{\mathcal F}_n\).

On a déjà une inclusion puisque \(S\land T\leqslant S,T\).

L'autre inclusion vient par réécriture.

On peut bien écrire \(\{T\leqslant n\}\) à partir d'événements \({\mathcal F}_n\)-mesurables.

On peut écrire cette probabilité comme une intersection.

On peut traduire cela comme l'espérance d'une espérance conditionnelle selon \(X_0\).

Cette probabilité devient alors facile à calculer via le caractère iid et la connaissance de \(X_0\).

Enfin, on calcule l'espérance via un Théorème de transfert.

On conclut en calculant \({\Bbb P}(T=n)\) (qui caractérise la loi de \(T\), car discrète) via une soustraction.

Par inclusion des événements, on peut ajouter une intersection avec \(\{T_x\leqslant n\}\).

On peut décomposer la deuxième partie de la probabilité en passant par une somme (les événements sont disjoints).

On peut obtenir la bonne borne dans la première partie de l'inégalité par inclusion des événements.

Enfin, on peut séparer la probabilité par indépendance, en vérifiant pour quelles tribus les événements sont mesurables.

Cela vient directement en décomposant les \(S_n\) en tant que somme, et par symétrie des \(X_i\).

Par symétrie de \(S_n-S_k\), la première probabilité est constante égale à \(\frac12\), et la somme des deuxièmes permet d'indiquer si le maximum est atteint.

On peut bien décomposer \(\{N(t)+1=n\}\) en fonction d'événements de \({\mathcal F}_n\).